El balanç de sal

Teorema hidrogràfic de Knudsen

Probablement la tasca més bàsica per a la descripció d'un estuari és establir un balanç de la seva circulació mitjana. La classificació dels estuaris és un primer pas en aquesta direcció, però és qualitativa no quantitativa. En aquest capítol s'analitzen els mètodes per aderivar el volum de transport a partir d'observacions de la distribució de la salinitat. Aquests mètodes es basen en el principi de conservació de sal i per tant, es coneixen com a tècniques del balanç de la sal.

Podria semblar que la forma més directa de trobar el transport de volum és mesurar el corrent a diferents profunditats. No obstant això, el corrent en un estuari sol estar dominat per la marea. Per tant, per a extreure la circulació mitjana a partir de les mesures del corrent es requereix mesures del corrent durant almenys un cicle de marea, que és un exercici lent i costós. El camp de salinitat es mou cap a enrere i cap a endavant amb la marea, però el perfil de salinitat vertical (la variació de la salinitat amb la profunditat) no es veu afectat pel moviment de les marees i es pot obtenir a partir d'una sola mesura. És per aquesta raó per la qual els oceanògrafs van dedicar un considerable esforç en el desenvolupament de mètodes per deduir la circulació mitjana en un estuari a partir d'observacions de salinitat.

La base de les tècniques del balanç de sal és l'equació de difusió de la sal. Per a un estuari de dues dimensions es pot escriure com

$\frac{\partial (u S)}{\partial x} + \frac{\partial (w S)}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial x} (K_{h} \frac{\partial S}{\partial x}) - \frac{\partial}{\partial z} (K_{v} \frac{\partial S}{\partial z}) = 0$

$U$ i $W$ són les components horitzontal i vertical de la velocitat, $S$ és la salinitat, $K_{h}$ i $K_{v}$ són els coeficients de difusió turbulenta horitzontal i vertical de la salinitat, $x$ és la coordenada horitzontal mesurada positivament des de l'extrem interior de l'estuari cap al mar i $z$ és la coordenada vertical mesurada positivament cap avall. El primer terme de l'equació expressa el transport de sal horitzontal (advecció horitzontal). El segon terme expressa el transport de la sal pel moviment vertical d'aigua (advecció vertical). El tercer terme representa el transport net de sal degut a la barreja horitzontal turbulenta, i l'últim terme dóna la contribució per la barreja vertical turbulenta. Recordeu que tota la barreja turbulenta és el resultat de l'acció de les marees; per tant la importància de la barreja turbulenta en el balanç dels processos de transport de la sal depèn de la força de la marea.

L'equació es pot simplificar per a les diferents classes d'estuaris positius. Per als estuaris amb falca salina i molt estratificats el transport de sal s'aconsegueix per advecció només, i l'equació de difusió de la sal representa un equilibri entre l'advecció horitzontal i vertical:

$\frac{\partial (u S)}{\partial x} + \frac{\partial (w S)}{\partial z} = 0$

Aquí la velocitat vertical, $w$ , representa l'efecte de l'arrossegament de la capa inferior a la capa superior.

Per a l'estuari poc estratificat el moviment de la sal entre la capa superior i inferior s'aconsegueix per barreja turbulenta. La barreja horitzontal segueix essent petita i sense importància, i l'equació de difusió dóna un equilibri entre els tres processos:

$\frac{\partial (u S)}{\partial x} + \frac{\partial (w S)}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z} (K_{v} \frac{\partial S}{\partial z}) = 0$

L'estuari verticalment barrejat es caracteritza per una distribució vertical de propietats uniforme, que vol dir que tots els termes de l'equació de difusió que expressen els canvis verticals desapareixen. Això deixa de nou un balanç entre només dos processos, l'advecció horitzontal i la barreja horitzontal turbulenta de les marees, que esdevé essencial per a l'equilibri:

$\frac{\partial (u S)}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial x} (K_{h} \frac{\partial S}{\partial x}) = 0$

Una variació de la darrera situació es produeix en amplis estuaris verticalment barrejats que mostren una variació significativa de salinitat lateral (la variació de la salinitat a través de l'estuari). En aquestes situacions la barreja en la direcció lateral (barreja horitzontal a través de l'estuari) i l'advecció lateral (moviment de l'aigua a través de l'estuari) solen ser més important que la difusió cap amunt de l'estuari (barreja horitzontal al llarg del seu eix). L'equació de difusió representa llavors un balanç de tres processos, un en la direcció $x$ de l'eix de l'estuari i dos en la direcció $y$ , a través de l'estuari ( $v$ aquí es refereix a la component de la velocitat en la direcció $y$ ).

$\frac{\partial (u S)}{\partial x} + \frac{\partial (v S)}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial y} (K_{h} \frac{\partial S}{\partial y}) = 0$

Teorema hidrogràfic de Knudsen

M. Knudsen
(1871 – 1949)

Els estuaris amb falca salina i molt estratificats són especialment accessibles per a una descripció de la circulació ja que el transport de sal és un balanç només entre dos processos, l'advecció horitzontal i vertical de sal. Això fa que sigui possible derivar alguns esquemes de càlcul simplificat per a la determinació de la circulació mitjana. Es basen en els principis de la conservació de volum i de la sal i es conèixen com a teorema hidrogràfic Knudsen.

Figura 14.1

Per començar, considerem la situació mostrada en la figura 14.1: l'aigua flueix a través d'un canal amb una àrea d'entrada d' $A_{1}$ (donada pel producte de l'amplada i profunditat) i una àrea de sortida $A_{2}$ . Es defineix la direcció del flux, com anar de $A_{1}$ cap a $A_{2}$ . Expressat en altres paraules, això significa que el flux és d' $A_{1}$ a $A_{2}$ , si la velocitat del flux és positiva i d' $A_{2}$ a $A_{1}$ si és negativa. Denotem la velocitat d'entrada com $u_{1}$ i la velocitat de sortida $u_{2}$ . Denotem la salinitat de l'aigua que entra al canal com $S_{1}$ i la salinitat de l'aigua que surt del canal com $S_{2}$ . El volum de transport per unitat de temps o flux volumètric, $Q$ , ve donat per $Q_{1} = A_{1} u_{1}$ a la secció d'entrada i $Q_{2} = A_{2} u_{2}$ a la de sortida; la quantitat de sal que entra al canal per unitat de temps o flux de la sal està donada per $Q_{1} S_{1}$ i el flux de sal a la sortida val $Q_{2} S_{2}$ . El nostre objectiu és determinar el flux a través del canal, és a dir $Q_{1}$ i $Q_{2}$ , a partir de mesures de les salinitats $S_{1}$ i $S_{2}$ a l'entrada i la sortida.

Suposem ara que hi ha una font d'aigua dolça al canal, per exemple, precipitació. Denotem l'índex de pluviositat com $r$ i l'àrea de la superfície del canal com $B$ . El volum d'aigua per unitat de temps afegit per la pluja és llavors $R = r B$ . Si la situació està en un estat estacionari, la conservació de volum requereix que la quantitat d'aigua que entra al canal per unitat de temps ha d'estar equilibrada per la quantitat d'aigua que surt d'ell, llavors

$Q_{1} + R = Q_{2}$

La conservació de sal requereix que la quantitat de sal que entra al canal per unitat de temps ha de ser equilibrada per la quantitat de sal de sortida. Atès que la pluja no afegeix sal al sistema, el balanç de sal conté només dos termes, el flux d'entrada de sal i el flux sortint de la sal:

$Q_{1} S_{1} = Q_{2} S_{2}$

Tinguem en compte que els serveis meteorològics solen donar taxes de precipitació en mm/dia. Per a avaluar l'equació $(???)$ hem de ser coherents en l'ús de les unitats i utilitzar el sistema científic internacional d'unitats per tot arreu; és a dir la longitud en metres i el temps en segons. Per tant, s'ha de mesurar $A_{1}$ , $A_{2}$ i $B$ en $m^{2}$ , $U_{1}$ i $u_{2}$ en $m s^{- 1}$ i convertir $r$ de qualsevol unitat que utilitzi el servei de meteorologia a $m s^{- 1}$ .

El balanç de volum $(???)$ i l'equilibri de sal $(???)$ ens donen dues equacions per a les dues incògnites $Q_{1}$ i $Q_{2}$ . Podem resoldre per a $Q_{1}$ i $Q_{2}$ i trobar,

$Q_{1} = \frac{R}{\frac{S_{1}}{S_{2}} - 1}, Q_{2} = \frac{R}{1 - \frac{S_{2}}{S_{1}}}$

Una inspecció ràpida d'aquest resultat mostra que si $R > 0$ (la pluja s'afegeix al sistema) l'aigua es mou des de la regió d'alta salinitat a la regió de baixa salinitat com s'esperava, essent diluïda: Si $S_{1} > S_{2}$ flueix des d' $A_{1}$ cap a $A_{2}$ ( $Q_{1}$ i $Q_{2}$ són positius), si $S_{2} > S_{1}$ flueix d' $A_{2}$ cap a $A_{1}$ ( $Q_{1}$ i $Q_{2}$ són negatius). Si d'altra banda, l'evaporació a través del canal excedeix la precipitació, tenim que $R < 0$ i el flux va de la regió de baixa salinitat a la regió d'alta salinitat concentrant sal.

Figura 14.2

Es pot reaprofitar fàcilment l'exemple per a un canal amb un àrea d'entrada i de sortida en un equilibri de sal de l'estuari. Tot el que hem de fer és doblegar el canal de tal manera que l'àrea de sortida es trobi per sobre de la zona d'entrada (Figura 14.2). Això ens dóna una representació en dues capes d'un estuari molt estratificat. En lloc d'assumir que l'entrada d'aigua dolça es deriva de la pluja concentrem l'entrada d'aigua dolça en un sol lloc a l'extrem interior de l'estuari i interpretem $R$ com el cabal (volum per unitat de temps) d'entrada del riu. Les equacions $(???)$ i $(???)$ a continuació, es poden aplicar directament a la situació de l'estuari si interpretem els valors positius de $Q_{1}$ com a entrada per la boca de l'estret a través de la capa inferior i valors positius per a $Q_{2}$ , com a flux de sortida per la boca de l'estuari a través de la capa superior.

De la figura 14.2 és evident que tota l'aigua que entra a la capa inferior de l'estuari a través d' $A_{2}$ ha de sortir a través de la capa superior. En un estuari altament estratificat això s'aconsegueix per arrossegament. Podem calcular la velocitat d'arrossegament $w$ (la velocitat cap amunt a la interfície entre les dues capes) si es coneix la zona de $B_{e}$ de l'estuari. Tenim llavors

$w B_{e} = Q_{2} = \frac{S - 1}{S_{2} - S_{1}} R$

Els fiords són bons exemples d'estuaris altament estratificats. Al Hardangerfjord de Noruega la relació $S_{1} / (S_{2} - S_{1})$ varia entre 2 i 6 durant els mesos d'estiu, que vol dit que la quantitat d'aigua que surt de l'estuari a la desembocadura és d'entre 2 i 6 vegades la quantitat d'aigua dolça que entra des del riu. La velocitat d'arrossegament $w$ que surt és de l'ordre de $5 \times 10^{- 6} m s^{- 1}$ , la qual cosa implica un ascens vertical de 0.45 m per dia.

L'equació $(???)$ ens permet determinar l'augment del flux de volum des del riu fins al mar amb una sola mesura de la salinitat, en funció de la profunditat a les proximitats de la desembocadura de l'estuari. Tot el que hem de fer és prendre una decisió raonada d'on és probable que es trobi la interfície de les dues capes i determinar la salinitat mitjana $S_{1}$ i $S_{2}$ de la capa superior i inferior. Per a obtenir un resultat fiable la mesura s'ha de fer en un lloc on la salinitat continua mostrant una clara variació amb la profunditat i l'equació $(???)$ no té sentit quan s'arriba a la mar, on $S_{1} = S_{2}$ . En absència de mesures del corrent la ubicació de la interfície pot ser estimada a partir del perfil de salinitat amb la profunditat quan el gradient de salinitat vertical és més gran.

Figura 14.3

Podem generalitzar aquest resultat observant el balanç de volum i de sal per a determinats sectors de l'estuari. Suposem que les observacions de salinitat van ser preses en una sèrie d'estacions al llarg d'un estuari i considerem la situació entre dues estacions veïnes $i$ i $i - 1$ (Figura 14.3).

Tenim un flux a la capa superior i un altre en la direcció oposada a la capa inferior. Les equacions de balanç impliquen quatre àrees, $A_{i}^{u p p e r}$ i $A_{i}^{i n f}$ , $A_{i - 1}^{u p p e r}$ i $A_{i - 1}^{i n f}$ amb quatre velocitats $u_{i}^{s u p}$ , $u_{i}^{i n f}$ , $u_{i - 1}^{s u p}$ i $u_{i - 1}^{i n f}$ . El nostre objectiu és novament determinar els transports de volum de la capa superior i inferior a través d'aquesta part de l'estuari a partir de mesures de salinitat.

Seguint el principi d'estat estacionari "el que entra, ha de sortir", ens trobem amb els fluxes de volum

$Q_{i}^{s u p} - Q_{i}^{i n f} = Q_{i - 1}^{s u p} - Q_{i - 1}^{i n f}$

i pels fluxes de sal

$(Q_{i}^{s u p} S_{i}^{s u p}) - (Q_{i}^{i n f} S_{i}^{i n f}) = (Q_{i - 1}^{s u p} S_{i - 1}^{s u p}) - (Q_{i - 1}^{i n f} S_{i - 1}^{i n f})$

Això ens dóna dues equacions per a quatre incògnites $Q_{i}^{s u p}$ , $Q_{i}^{i n f}$ , $Q_{i - 1}^{s u p}$ i $Q_{i - 1}^{i n f}$ . Podem resoldre el problema si sabem el volum que es transporta a una de les dues estacions. Suposem que els coneixem a l'estació $i - 1$ . Això ens permet resoldre les equacions $(???)$ i $(???)$ per $Q_{i}^{s u p}$ i $Q_{i}^{i n f}$ :

$Q_{i}^{s u p} = Q_{i - 1}^{s u p} \frac{1 - \frac{S_{i - 1}^{s u p}}{S_{i - 1}^{i n f}}}{1 - \frac{S_{i}^{s u p}}{S_{i}^{i n f}}} Q_{i}^{i n f} = Q_{i - 1}^{i n f} \frac{\frac{S_{i - 1}^{i n f}}{S_{i - 1}^{s u p}} - 1}{\frac{S_{i}^{i n f}}{S_{i}^{s u p}} - 1}$

Les equacions $(???)$ són el que es coneix en matemàtiques com un esquema iteratiu: una vegada que coneixem la solució (el transport de volum) en un sol lloc $i - 1$ es pot obtenir la solució en un altre lloc $i$ . Podem aplicar l'esquema iteratiu si tenim dades de salinitat d'una sèrie d'estacions al llarg de l'estuari: Si anomenem les estacions des de l'estació 0, en el punt d'entrada del riu (capçalera de l'estuari), fins a l'estació $n$ a la boca de l'estuari, podem trobar el volum de transport a l'estació $n$ mitjançant el volum de transport a l'estació $n - 1$ , que trobem a partir del volum de transport a l'estació $n - 2$ , i així successivament fins que arribem a l'estació 1, per la qual cosa hi ha el volum de transport a partir del volum transportat a l'estació 0. El volum transportat a l'estació 0 representa el punt de partida o de les condicions inicials del règim iteratiu i han de ser trobades mitjançant un argument independent, que és el següent.

El flux de volum del riu és $R$ ; consisteix enterament en aigua dolça i entra a la capa superior de l'estuari. Això ens dóna

$Q_{0}^{s u p} = R, S_{0}^{s u p} = 0$

Donat que no hi ha capa inferior a l'estació 0 no podem aplicar les equacions $(???)$ per a determinar $Q_{1}^{i n f}$ , però sabem que $Q_{i}^{s u p}$ ha de subministrar el flux necessari per augmentar el flux de la capa superior de $R$ a l'estació de 0 fins a $Q_{1}^{s u p}$ a l'estació 1:

$Q_{1}^{i n f} = Q_{0}^{s u p} - R$

Això completa l'esquema iteratiu: El primer pas és calcular $Q_{1}^{s u p}$ de la primera de les equacions $(???)$ amb les equacions $(???)$ . Això dóna

$Q_{i}^{s u p} = R \frac{1}{1 - \frac{S_{1}^{s u p}}{S_{1}^{i n f}}}$

Després d'haver decidit $Q_{1}^{s u p}$ podem usar l'equació $(???)$ per a trobar $Q_{1}^{i n f}$ . Això completa el càlcul de l'estació 1 i ens permet procedir a continuació amb l'estació 2, l'estació 3, l'estació 4 i així successivament, amb l'ajuda de les equacions iteratives.

Acabem aquesta discussió amb un exemple. La taula 14.1 dóna les salinitats de la capa superior i inferior a sis estacions hipotètiques al llarg de la longitud d'un estuari. El cabal del riu s'estableix de manera arbitrària a $12 m^{3} s^{- 1}$ .

Taula 14.1: Augment hipotètic de la circulació en un estuari molt estratificat determinat per la distribució de la salinitat
no. estació	0	1	2	3	4	5	6
$S^{s u p}$	0	5	10	15	20	25	30
$S^{i n f}$	-	35	35	35	35	35	35
$Q^{s u p}$ ( $m^{3} / s$ )	12	14	16.8	21	28	42	84
$Q^{i n f}$ ( $m^{3} / s$ )	-	2	4,8	9	16	30	72

La part inferior de la taula dóna els transports de volum resultants per a les dues capes. Podem veure que el volum de transport s'incrementa en un factor 7 des del riu fins a l'estació 6 i que la majoria d'aquest augment es produeix entre les estacions 5 i 6. També observem que la diferència entre els transports de la capa superior i inferior és de $12 m^{3} s^{- 1}$ , independentment de quin sigui el transport en les dues capes. Per descomptat, això és un resultat inesperat, ja que en un estat estacionari, el transport de volum net en qualsevol punt a l'estuari és igual a la quantitat d'aigua transportada pel riu. No obstant això, ens proporciona un mitjà útil per a verificar el resultat de l'esquema iteratiu; els esquemes iteratius tenen la desagradable propietat de que els errors comesos en un moment en el càlcul afectaran tots els següents càlculs, la qual cosa és essencial fer la comprovació d'errors.

L'exemple de la taula 14.1 representa un veritable estuari molt estratificat on $S^{i n f}$ es manté constant a través de l'estuari. Per descomptat, les equacions $(???)$ també es poden fer servir amb variacions de $S^{i n f}$ , és a dir, en estuaris lleugerament estratificats. La taula 14.2 mostra un exemple

Taula 14.2 Augment de la circulació en un estuari hipotèticament poc estratificat segons el que determina la distribució de la salinitat
no. estació	0	1	2	3	4	5	6
$S^{s u p}$	0	5	10	15	20	25	30
$S^{i n f}$	-	20	25	28	30	33	35
$Q^{s u p}$ ( $m^{3} / s$ )	12	16	20	25,85	36	49,5	84
$Q^{i n f}$ ( $m^{3} / s$ )	-	4	8	13,85	24	37,5	72

Quan els resultats de la taula 14.2 es comparen amb els de la taula 14.1 s'observa que l'aplicació del teorema hidrogràfic de Knudsen als estuaris poc estratificats sobreestima la intensificació de la circulació. En l'exemple de les taules 14.1 i 14.2 els transports de volum per a l'estuari lleugerament estratificat són d'un 10 a 20% més alts que els de l'estuari molt estratificat. La raó és que el teorema de Knudsen es basa en un equilibri completament advectiu on s'aconsegueix l'augment de la salinitat a la capa superior exclusivament a través d'arrossegament des de sota. La salinitat a la capa inferior és menor a la taula 14.2 que a la taula 14.1, de manera que un major volum d'aigua és necessàri per a afegir la quantitat de sal necessària per augmentar la salinitat de la capa superior.

En realitat, el teorema de Knudsen sobreestima els transports de volum als estuaris poc estratificats més del que s'indica en aquests exemples. Als estuaris lleugerament estratificats la sal és transportat cap amunt i cap avall per la barreja turbulenta de les marees. Si bé hi ha molt intercanvi entre les dues capes, el transport net ascendent d'aigua és molt menor que en un estuari molt estratificat. D'això es desprèn que el teorema hidrogràfic de Knudsen es pot utilitzar per a obtenir una estimació superior dels transports superiors i inferiors als estuaris, però que el resultat ha de ser interpretat amb precaució si l'estuari no és del tipus molt estratificat o de falca salina.

Tècniques del Balanç de Sal

Teorema hidrogràfic de Knudsen