La simple relació entre la direcció del vent i la direcció del transport a la capa d'Ekman a l'oceà profund, és vàlida en la mesura que la fondària total, $H$, és més gran que la fondària de la capa d'Ekman, $d_E$. La condició exacta, derivada de consideracions teòriques de la dinàmica de fluids és que: $d_E^2 \lt\lt H^2$. Per a aplicacions pràctiques el criteri $d_E \lt H$, és adequat per a decidir quan una situació donada pot ser descrita per la dinàmica de l'oceà profund o no. Com es va establir en el capítol anterior, el gran avantatge de la dinàmica de l'oceà profund és que no és essencial disposar d'un coneixement detallat de la distribució del corrent a la capa d'Ekman per descriure el seu paper en la circulació oceànica. Això, ja no és vàlid en una situació d'aigües poc profundes que requereix un anàlisis del perfil vertical de velocitats. El primer tema d'aquest capítol és per tant una descripció de l'estructura de la capa d'Ekman.

La figura 3.1 mostra com la direcció i la celeritat del corrent canvien amb la fondària dins d'una capa d'Ekman generada pel vent bufant sobre un oceà profund. La celeritat del corrent és més gran a la superfície i decreix ràpidament amb la profunditat. La direcció del corrent també canvia amb la profunditat, i podem veure el remarcable resultat que a una determinada fondària, el corrent, fins i tot, va en direcció oposada al corrent de la superfície. No obstant en aquesta fondària el corrent és tan feble que pot considerar-se negligible. Aquesta fondària es considera com el fons de la capa d'Ekman o gruix de la capa d'Ekman, $d_E$. A la superfície, el corrent es dirigeix 45º a la dreta (esquerra) del vent a l'hemisferi nord (sud). En alguna part més a baix de la columna d'aigua, el corrent flueix a la dreta del vent, mentre que per sota d'aquesta flueix amb diversos angles contra la direcció del vent. El transport total de la capa d'Ekman és l'efecte combinat del moviment de l'aigua a tota la capa d'Ekman, és a dir la integral des de la superfície fins a la fondària, $d_E$. Això explica per què a l'oceà profund el transport de la capa d'Ekman es dirigeix amb un angle cap a la dreta de la direcció del vent: les contribucions al transport en la direcció del vent trobats en la part superior de la capa d'Ekman es cancel·len per les contribucions en direccions oposades trobades a la part més baixa de la capa d'Ekman.

La intrincada estructura de la capa d'Ekman és el resultat d'un balanç entre la fricció i la força de Coriolis. La fricció transfereix moment des de l'atmosfera a l'oceà. En un sistema de referència sense rotació això resultaria en un moviment de l'aigua en la direcció del vent. La rotació dona lloc a una força aparent (la força de Coriolis) que actua perpendicularment a la direcció del moviment. L'acció combinada de la fricció i la força de Coriolis produeix un corrent a la superfície dirigit a 45º de la direcció del vent i es deflecta més respecte a la direcció del vent amb la fondària.

Els detalls de l'estructura de la capa d'Ekman depenen de diverses suposicions que no sempre són fàcils de verificar. El supòsit més important, i associat amb les majors incerteses, es refereix al procés de la transferència de moment de la superfície del mar a les capes més fondes. En absència de turbulència, el moment seria transferit per la fricció entre les molècules d'aigua. Els efectes de la fricció es poden quantificar a través d'un coeficient de fricció molecular, $\eta$, que és una propietat del medi i una mesura de la viscositat del fluid que pot ser mesurada al laboratori i té unitats de $kg \;m^{-1} \;s^{-1}$. Una quantitat d'ús freqüent és la viscositat molecular cinemàtica, $\nu = \eta \rho^{-1}$, on $\rho$ és la densitat de l'aigua en unitats de $kg\; m^{-3}$. Si el moment és transfereix per fricció molecular, es pot demostrar que el gruix de la capa límit de fricció, és a dir, la distància sobre la qual la velocitat es troba sota l'influència de la força d'arrossegament del vent, vé donada per

\begin{equation} d = \sqrt{\frac{2 \nu}{f}} \label{eq:dmol} \end{equation}

on $f$ és el paràmetre de Coriolis o freqüència de Coriolis (un valor típic per a les latituds mitjanes és $10^{-4}\; s^{-1}$). La viscositat cinemàtica molecular de l'aigua és de l'ordre de $10^{-6}\; m^2\; s^{-1}$, de manera que típicament, la capa límit de fricció és aproximadament d'un gruix de $0.1 \;m$. Aquestes capes límit moleculars es produeixen fàcilment en tancs de laboratori i es poden veure algunes vegades, quan una lleugera brisa bufa sobre un estany tranquil. Les fulles flotants o altres materials en suspensió indiquen aigües ràpides movent-se rectes a la superfície, el moviment és cada vegada més lent en els propers pocs centímetres i a continuació cap moviment. Aquesta no és, però, la situació quotidiana a l'oceà costaner, on la capa límit de fricció (la capa d'Ekman) té un gruix de desenes de metres. La conclusió és que la fricció molecular no pot ser responsable de la transferència d'energia del vent a l'aigua. La transferència de moment a l'oceà s'aconsegueix mitjançant la turbulència.

A diferència de la viscositat molecular, la turbulència no és una característica del medi sinó del flux, la seva intensitat i estructura depenen, de la cisalla del corrent (tant horitzontal com vertical), de l'estratificació, del camp d'ones, de la rugositat del fons de l'oceà i d'altres factors. El principal mecanisme que contribueix a la turbulència oceànica són remolins de diferents grandàries, des dels més petits remolins de pocs metres de diàmetre fins a grans remolins geostróficos amb diàmetres de 200 km o més. Les ones generades pel vent contribueixen a la turbulència en la superfície del mar, i altres processos contribueixen al moviment turbulent en l'escala de centímetres. Les parcel·les d'aigua mogudes pels remolins són diversos ordres de magnitud més grans que les molècules d'aigua. Mitjançant l'intercanvi de les seves propietats amb el seu entorn són molt més eficaços que la difusió molecular en transportar el moment cap a fons des de la superfície del mar.

Per a descriure exactament l'efecte de la transferència d'energia cinètica turbulenta es requereix conèixer els detalls del camp turbulent, en la majoria dels casos una tasca impossible. En la dinàmica de fluids es considera fins a cert punt que per a gairebé totes les situacions, el seu efecte es pot descriure a través d'un coeficient de viscositat, $A_v$, i el corresponent gruix de la capa límit és defineix llavors per

\begin{equation} d = \sqrt{\frac{2 A_v}{f}} \label{eq:drot} \end{equation}

Aquest coeficient de viscositat turbulenta, $A_v$, té novament unitats de $m^2 \; s^{-1}$ però ja no és una constant del medi, sinó que és diversos ordres de magnitud més gran que la viscositat cinemàtica molecular, $\nu$ i varia d'una situació a una altra. El coeficient de viscositat turbulenta, $A_v$, s'anomena sovint fricció turbulenta o coeficient de barreja. Donat que els remolins són els principals mecanismes de com la turbulència oceànica transfereix el moment, també se'l coneix com coeficient turbulent. Sovint també s'anomena coeficient Austausch (Austausch = en alemany indica intercanvi de moment a través de remolins). Els valors típics d'$A_v$ estan al voltant de $0.1\; m^2 \;s^{-1}$, però pot variar d'un ordre de magnitud o més a cada banda, donant un rang d'entre $15 - 150\;m$ de gruix de la capa d'Ekman.

Una de les quantitats més importants en la teoria de la circulació oceànica és el transport de la capa d'Ekman. Pot semblar que calcular el transport és una operació poc fiable, ja que es basa en la integral de la velocitat sobre la capa d'Ekman, que són dues funcions d'$A_v$. Com passa per a l'oceà profund ($D_E^2 << H^2$) la incertesa en la magnitud del coeficient turbulent no té gaire conseqüència, ja que la dependència de $D_E$ i de la velocitat del corrent d'Ekman en funció d'$A_v$ es cancel·len i el transport d'Ekman es torna independent d'$A_v$. Per tant, el transport de la capa d'Ekman es pot determinar sense cap coneixement de la magnitud, del temps i/o de la variabilitat espacial d'$A_v$. Aquest és un dels resultats més importants de la dinàmica de fluids geofísics i una de les raons per les quals la dinàmica dels oceans profunds és molt més senzilla que la dinàmica de l'oceà costaner.

Abans de procedir a discutir les modificacions de la capa d'Ekman en aigües somes és probablement útil analitzar observacions dels corrents a la capa d'Ekman. La figura 3.2 mostra una fotografia d'un experiment en el qual una taca vertical d'un traçador va ser vessada a la capa superior de l'oceà (es pot veure en la fotografia la nau utilitzada en l'experiment). L'aigua era bastant clara i el traçador es podia veure gairebé a través de tota la columna d'aigua. Després d'algun temps la forma de la taca del colorant havia canviat a la configuració mostrada. Si el moviment de l'aigua hagués estat el mateix per a totes les profunditats de la taca del traçador, aquesta s'hagués semblat des de l'aire a una única bombolla. El fet que la taca apareix amb una forma allargada i una curvatura diferent indica una disminució del moviment de l'aigua amb la profunditat amb un canvi sistemàtic en la direcció, d'acord amb el concepte d'espiral d'Ekman.

Podem trobar més proves de l'existència de l'espiral d'Ekman, si ens fixem en el fons de l'oceà. Un corrent que flueix sobre un fons rugós experimenta un arrossegament d'una manera molt similar a la que experimenta un oceà en repòs arrossegat per un vent que bufa sobre la seva superfície.

Tant si l'efecte de l'arrossegament és perquè l'aigua (el vent) es mou cap endavant o perquè es deixa enrera (el fons) no hi ha molta diferència. Podriem igualment imaginar que l'aigua està en repòs i que la part inferior (el fons) es mou en la direcció oposada. Per tant, existeix una capa d'Ekman per sobre del fons que serveix per dur el corrent, sigui quina sigui la seva intensitat per sobre de la capa d'Ekman, fins a valors nuls al fons del mar. La figura 3.3 mostra un exemple d'aquesta situació. Les observacions van ser preses a $70\; m$ de fondària, la capa d'Ekman superficial tenia només $30\;m$ de gruix i no va ser coberta per les observacions. La capa d'Ekman del fons es veu que té un gruix al voltant de 25 m. Entre les dues capes d'Ekman hi ha la regió de flux geostròfic sense fricció (es veu en les dades de 25 m i 35 m per sobre del fons).

Perfil del coeficient turbulent

En contrast amb el transport de la capa d'Ekman, que és independent dels detalls del coeficient turbulent, els detalls del perfil de velocitat a la capa d'Ekman es veuen afectats pels detalls d'$A_v$. Fins ara, la discussió sobre les capes d'Ekman suposava que $A_v$ era independent de la profunditat. Revisarem ara l'efecte de la variabilitat segons la fondària d'$A_v$ en el perfil de velocitat i les possibles raons per les quals el coeficient pot variar amb la profunditat.

Ja que la capa superficial d'Ekman és el resultat de l'acció del vent, és raonable suposar que els elements de la turbulència responsables de la transferència de moment són principalment les ones generades pel vent. El moviment de les partícules dins les ones generades pel vent en aigües fondes són trajectòries orbitals en un pla vertical. Els diàmetres de les trajectòries orbitals disminueixen exponencialment amb la profunditat; per tant, es pot argumentar que la intensitat de la turbulència i per tant el coeficient de turbulència també disminueix exponencialment amb la profunditat. La profunditat a la qual aquesta disminució es produeix és una funció del període d'ona dominant (ja que la disminució exponencial del diàmetre de les trajectòries de les partícules és una funció del període) que a la vegada és alguna funció de la velocitat del vent. Una forma de reemplaçar la simple suposició d'$A_v$ constant per una descripció més realista, és per tant, assumir una disminució exponencial d'$A_v$ amb la profunditat i fer que la disminució depengui de la velocitat del vent.

L'aplicació d'aquesta idea no és trivial, i no explorarem més els detalls. Només notem que l'efecte d'una disminució exponencial d'$A_v$ és concentrar la major part de la barreja a la zona superior de l'ona, reduint així la profunditat de la capa d'Ekman. La nostra "primera estimació" d'una capa d'Ekman de 50 a 150 m de gruix és per tant un límit superior del que podem esperar. Un exemple d'observacions que donen suport a la idea d'una dependència de la fondària d'$A_v$ (encara que no estrictament exponencial en aquest cas) es mostra a la figura 3.4.

Les ones no són sempre el mecanisme més important de generació de turbulència. La cisalla del corrent tendeix a produir remolins. Els corrents al mar gairebé sempre presenten un cisallament molt més fort en la direcció vertical que en la direcció horitzontal (a l'escala d'$1-100\; m$, la velocitat actual i el canvi de direcció són molt més ràpids en la vertical que en l'horitzontal) de manera que la formació dels petits remolins per cisalla és més comú que la formació de remolins amb un eix vertical de rotació (per a la mateixa escala).L'estratificació actua en contra de la formació del remolins convectivament inestables, ja que és més difícil moure l'aigua cap amunt o cap avall de la columna d'aigua davant d'un fort gradient de densitat. És possible quantificar la tendència a la formació de turbulència mitjançant la comparació d'una mesura de l'estratificació i una mesura de la cisalla vertical del corrent. El nombre de Richardson, $Ri$, és un nombre sense dimensions que ho permet. Es defineix com

\begin{equation} Ri = \dfrac{ \dfrac{g}{\rho} \dfrac{d \rho}{dz}}{ \left(\dfrac{du}{dz}\right)^2 } \end{equation}

En aquest cas, $g$ és la gravetat ($g = 9.8\;m\;s^{-2}$), $\rho$ la densitat ($\rho = 1025\;kg\;m^{-3}$ és un valor típic de l'aigua de mar) i $u$ és la velocitat. El gradient vertical de densitat, $d \rho/dz$, mesura l'estratificació, el canvi vertical de la velocitat, $du/dz$, proporciona el cisallament. $Ri$ es fa gran quan més gran sigui la importància relativa de l'estratificació i menys probable la presència de turbulència activa. A l'inrevés, un $Ri$ més petit vol dir que serà més gran la importància relativa de la cisalla del corrent i més probable la presència de turbulència. Les observacions mostren que la turbulència es posa en marxa si $Ri$ cau per sota d'un valor crític, la majoria dels investigadors considerem aquest valor com $Ri = 1/4$, altres suggereixen que és lleugerament més petit.

El nombre de Richardson es pot fer servir per a obtenir la dependència del coeficient turbulent amb la profunditat que d'alguna manera reflecteix els diferents nivells de turbulència a diferents profunditats. Un mètode comunament utilitzat és fer $A_v$ inversament proporcional a $Ri$. La turbulència forta o un $Ri$ petit dóna llavors un gran $A_v$, que té sentit. La figura 3.5 mostra una típica situació d'estiu en una plataforma amb una barreja mareal feble. La calor rebuda a la superfície es barreja cap avall per acció de les ones. Els vents a l'estiu solen ser lleugers, de manera que la capa calenta de barreja resulta ser relativament poc profunda i separada de les aigües més fredes per sota de la forta termoclina. L'estabilitat de la columna d'aigua és més gran a la termoclina, on el nombre de Richardson mostra un màxim i el coeficient turbulent un mínim. Els valors extremadament baixos d'$A_v$ signifiquen que és difícil estendre la capa d'Ekman més enllà de la fondària de la termoclina fins i tot sota condicions de vent fort. La capa d'Ekman no s'aprofondirà a la tardor, tot i l'augment estacional de la velocitat mitjana del vent, fins que el refredament a la superfície inicii la barreja convectiva empenyent la termoclina cap a baix i amb ella el mínim d'$A_v$.

Un altre exemple d'una capa superficial d'Ekman com a resultat d'una termoclina superficial s'indica en la figura 3.3. El fet que la velocitat actual i la direcció no canviïn entre 25 i $35 \;m$ des del fons a $74 \;m$ de fondària suggereix una capa d'Ekman d'almenys $39\; m$ d'abast, molt menys que el que s'observa normalment. La poca profunditat de la termoclina és el resultat de l'aflorament costaner, que eleva la termoclina cap a la superfície, reduint el gruix de la capa d'Ekman.

El principi que diu que la magnitud i la variació amb la profunditat del coeficient turbulent depèn del caràcter de la turbulència també s'aplica al fons de l'oceà profund. En contrast amb la superfície lliure, el fons del mar imposa un límit rígid a tot moviment. Com a resultat, els remolins turbulents profunds estan limitats en grandària; el seu diàmetre no pot superar la distància des del seu centre fins a la contorn. Remolins més grans poden aparèixer lluny del fons del mar. Si això s'expressa en termes de la viscositat turbulenta es troba que $A_v$ és zero a la part inferior i creix linealment amb la distància, fins que arriba al valor típic de turbulència a l'interior de l'oceà. Això dóna com a resultat un perfil de velocitat on el corrent augmenta logarítmicament en intensitat amb la distància des del fons del mar i no canvia de direcció. A l'atmosfera, aquesta capa límit logarítmica determina el perfil del vent en les primeres desenes de metres des del terra cap amunt. A l'oceà rares vegades supera uns pocs metres de gruix. Apareix com una modificació de la capa d'Ekman en els primers metres i no té conseqüències sobre la direcció i magnitud del transport total de la capa d'Ekman discutit a continuació. La figura 3.6 compara la capa logarítmica amb la capa d'Ekman per a un situació oceànica. La importància de la capa límit logarítmica està en el seu paper per moure la sorra i el sediment fi a la zona costanera. Els enginyers de costes que treballen l'estabilització de platjes i la circulació d'aigües somes posen un gran esforç per entendre la capa límit logarítmica en detall.

És fàcil veure que en moltes situacions és impossible establir la dependència d'$A_v$ amb la fondària ja que la informació necessària per a estimar el tamany dels elements que conformen la turbulència o per a calcular el nombre de Richardson, no sempre estan disponibles. No obstant això, algunes conclusions generals sobre l'extensió vertical de la capa d'Ekman sorgeixen de les nostres consideracions, i val la pena resumir-les aquí.

El punt de partida per a una estimació de la profunditat de la capa d'Ekman és l'equació \eqref{eq:drot} amb $A_v$ constant. S'aplica a un cos profund d'aigua sense estratificació amb barreja que no depèn de la profunditat. Aquestes condicions sovint es satisfan en el fons del mar on l'estratificació és feble i la barreja no està associada amb l'onatge. L'estimació de l'equació \eqref{eq:drot} inclou la capa logarítmica com una sub-capa prop del fons de l'oceà. A la superfície, la barreja està gairebé sempre associada amb les onades generades pel vent. La disminució exponencial resultant d'$A_v$ amb la profunditat simplifica l'estimació de la profunditat de la capa d'Ekman. La presència d'una termoclina poc profunda pot reduir encara més el gruix de la capa d'Ekman, ja que la turbulència no pot penetrar la termoclina.

En l'oceanografia costanera sovint és important verificar si les observacions es van realitzar en condicions on $d_E^2 << H^2$ (dinàmica dels oceans profunds) o $d_E^2 >> H^2$ (dinàmica d'aigües somes). El procediment per avaluar-ho és obtenir una estimació de $d_E$ amb l'equació \ref{eq:drot} i comprovar la presència d'una termoclina. La menor de les dues profunditats ($d_E$ i la profunditat de la termoclina) s'utilitza llavors per a la comparació amb la profunditat de l'aigua per a decidir quina dinàmica (profunda o superficial) s'aplica a la situació. La importància d'una correcta avaluació es fa evident quan ens adreçem a la qüestió del transport a la capa d'Ekman en aigües poc profundes.

Transport a la capa d'Ekman

La figura 3.7 mostra com la velocitat del corrent i la direcció canvien a mesura que la profunditat de l'aigua, $H$, esdevé més petita. L'espiral d'Ekman observada a l'oceà profund (veure la figura 3,1) es troba en la mesura que $H$ sigui més gran que $1.25\; d_E$. A mesura que $H$ disminueix, l'espiral canvia la seva forma. En el rang $d_E >> H > 0.5 \;d_E$ el corrent manté la seva velocitat, però no gira en contra de la direcció del vent amb la profunditat. La velocitat del corrent es redueix a mesura que $H$ disminueix encara més, i el corrent s'alinea cada vegada més amb la direcció del vent. En aigües somes ($H < 0.2 \;d_E$) el flux és essencialment controlat per la força del vent i la fricció amb el fons i la força de Coriolis es torna insignificant, el corrent s'alinea amb la direcció del vent gairebé del tot i disminueix quasi linealment amb la profunditat.

En tots els casos el transport de la capa d'Ekman és independent dels detalls del coeficient turbulent, però en aigües somes ja no es dirigeix ​​perpendicularment a la direcció del vent (com ho és per $H > 0.5\;d_E$). A mesura que l'aigua es menys profunda, ho és el transport a la capa d'Ekman - que sota aquestes condicions es converteix en el transport de tota la columna d'aigua - apuntant en la direcció del vent. Això és de particular importància per comprendre l'aflorament induït pel vent en mars poc profunds. Al capítol 6 es desenvoluparan més aquestes idees.